统计学
1. 正态分布 Normal Distribution¶
1.1. 定义¶
正态分布（Normal Distribution）是一种连续型的概率分布，其密度函数为：
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
其中，\(\mu\) 为均值（mean），\(\sigma\) 为标准差（standard deviation）。
要知道一个标准差内概率为 \(68%\)，两个标准差内概率为 \(95%\)，三个标准差内概率为 \(99.7%\)。
2. Z 分数/标准分数 Z-score/Standard Score¶
Z分数（Z-score）是一种将原始数据转换为标准分数的过程。
\[ z = \frac{x-\mu}{\sigma} \]
理解：以标准差 \(\sigma\) 为“尺子”去度量某一原始数据 \(x\) 与均值 \(\mu\) 的距离。
作用：用于将不同量纲或单位的数据转换为统一的尺度，以便于比较和分析。
3. 基本统计量 Basic Statistics¶
3.1. 均值 Mean¶
数据集的平均数，记作 \(\mu\)。
\[ \mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i \]
3.2. 中位数 Median¶
数据集的中间值。
3.3. 众数 Mode¶
数据集中出现次数最多的值。
3.4. 方差 Variance¶
\[ \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2 \]
3.5. 标准差 Standard Deviation¶
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2} \]
3.6. 贝塞尔修正 Bessel's Correction¶
\[ s = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2} \]
3.7. 峰度 Skewness¶
3.8. 偏度 Kurtosis¶
分为正偏态（Positive Skewness）、负偏态（Negative Skewness）和零偏态（Zero Skewness）即正态分布。
- 正偏态：右偏，尾部长，偏度大于0。
- 负偏态：左偏，尾部短，偏度小于0。
- 零偏态：无偏，即为正态分布，偏度等于0。
4. 中心极限定理 Central Limit Theorem¶
中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是指样本均值收敛于正态分布。
30 个以上就可以视为大样本，样本均值近似服从正态分布。
5. 相关系数 Correlation Coefficient¶
5.1. Pearson's r¶
\[
r = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2}}
\]