题目2

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计算思维上机实验报告

1. 实验名称¶

实现抛物线 \(y=x^2\) 与 \(x\in[0,1]\) 所围区域面积的求解

2. 实验目的¶

使用 Python 符号计算库 sympy 和 蒙特卡洛方法 实现对抛物线 \(y=x^2\) 与 \(x\in[0,1]\) 所围区域面积的求解，并求取使得蒙特卡洛方法估计的面积值误差小于等于 0.05 的最小样本点数

3. 实验环境¶

操作系统： Windows 11

开发环境： VSCode + Python 3.12.4

使用到的 Python 模块： matplotlib.pyplot sympy numpy

4. 实验步骤及源代码¶

4.1. 编程画图展示所围区域¶

4.1.1. 设置正常显示中文¶

由于默认情况下，matplotlib.pyplot 库不能正常显示中文，因此需要进行以下设置：

plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimSun"]  # 设置默认字体为宋体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 用来正常显示负号

4.1.2. 构建函数 \(y=x^2\).¶

依据题目显示，我们应该构建属于 \([0,1]\) 的 \(x\) 的数组，并通过 \(y=x^2\) 的关系式来构建 \(y\) 的数组。

# 生成x的取值范围，从0到1，步长为0.01，并生成y
x = np.arange(0, 1, 0.01)
y = x**2

4.1.3. 设置图画参数¶

为了使所画的图更加美观，因此进行设置：

设置坐标轴为相同的比例
设置 \(x\) 和 \(y\) 的范围为 \([0,1]\)，并标注 \(x\) 轴和 \(y\) 轴
设置图表标题

# 设置坐标轴为相同的比例
plt.axis("scaled")
# 设置x和y轴的范围为[0,1]，并标注x轴y轴
plt.xlim([0, 1])
plt.ylim([0, 1])
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$y$")
# 设置图表标题
plt.title(r"$y=x^2$ 与 $x\in[0,1]$ 所围区域")

4.1.4. 绘制图像、标注区域并显示图表¶

使用 plt.fill_between(x, y, facecolor="", alpha="") 来填充区域：
x 和 y 是要填充区域的上下边界
facecolor 参数用于设置颜色，可以填写简写或是十六进制码
alpha 参数用于设置透明度，范围为 \([0,1]\)
使用 plt.plot(x, y, color="") 来绘制函数图像
x 和 y 分别为自变量和因变量
color 用于设置颜色
使用 plt.show() 来显示图表

# 填充y=x^2与x轴之间的区域，颜色为红色，透明度为0.2
plt.fill_between(x, y, facecolor="#FF3300", alpha=0.2)
# 绘制y=x^2的曲线，颜色为红色
plt.plot(x, y, color="#FF3300")
# 显示图表
plt.show()

该部分完整代码¶

plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimSun"]  # 设置默认字体为宋体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 用来正常显示负号


def func_draw_main_pic():
    """编程画图展示所围区域"""
    # 生成x的取值范围，从0到1，步长为0.01，并生成y
    x = np.arange(0, 1, 0.01)
    y = x**2

    # 设置坐标轴为相同的比例
    plt.axis("scaled")
    # 设置x和y轴的范围为[0,1]，并标注x轴y轴
    plt.xlim([0, 1])
    plt.ylim([0, 1])
    plt.xlabel("$x$")
    plt.ylabel("$y$")
    # 设置图表标题
    plt.title(r"$y=x^2$ 与 $x\in[0,1]$ 所围区域")

    # 填充y=x^2与x轴之间的区域，颜色为红色，透明度为0.2
    plt.fill_between(x, y, facecolor="#FF3300", alpha=0.2)
    # 绘制y=x^2的曲线，颜色为红色
    plt.plot(x, y, color="#FF3300")
    # 显示图表
    plt.show()

4.2. 求取蒙特卡洛方法计算精确面积值所需最小随机样本点数¶

4.2.1. 使用 `sympy` 库计算精确面积值¶

用数学公式表示图中小矩形的面积：

\[ \mathrm{d}S=y\cdot\mathrm{d}x=x^2\mathrm{d}x \]

对两边求 \([0,1]\) 上的定积分：

\[ S=\int_0^1\mathrm{d}S=\int_0^1x^2\mathrm{d}x=\frac13x^3\vert_0^1=\frac13 \]

即为所求。

则使用 sympy 库计算定积分 \(\int_0^1x^2\mathrm{d}x\) 即可。

步骤如下：

构建符号变量 x
构建函数 \(y=x^2\)
使用积分计算函数 integrate(表达式, (积分变量, [下限], [上限])) 计算定积分 \(\int_0^1x^2\mathrm{d}x\) 的精确值

r"""计算定积分 $\int_0^1 x^2 \mathrm{d}x$ 的值"""
# 创建符号变量 x
x = sp.Symbol("x")
# 定义函数 y 为 x 的平方
y = x**2
# 计算定积分，积分范围从 0 到 1
precise_value = sp.integrate(y, (x, 0, 1))
# 返回计算得到的定积分值

4.2.2. 蒙特卡洛方法估计面积值¶

步骤如下：

生成样本点（坐标）：使用 numpy.random.uniform()
标记在抛物线 \(y=x^2\) 下方的点
统计满足条件的样本点数，除以总的样本点数，以获取面积估计值

def func_mengtekaluo_area_value(NUMBER=1000):
    """
    蒙特卡洛方法计算面积值
    输入参数: NUMBER-样本点数
    返回值: (面积估计值, 误差)
    """

    # 生成指定范围内的随机坐标点
    coordinate = np.random.uniform(0, 1, size=(NUMBER, 2))  # 生成(NUMBER, 2)的随机点
    x = coordinate[:, 0]  # 提取 x 坐标
    y = coordinate[:, 1]  # 提取 y 坐标

    # 计算点是否在抛物线 y = x^2 之下
    marks = y - x**2 < 0  # 标记在抛物线下方的点

    # 估计面积，计算在抛物线下方的点的比例
    area_esti = sum(marks) / NUMBER  # 计算估计面积值
    error = np.abs(area_esti - precise_value)  # 计算与精确值的误差
    return area_esti, error

4.2.3. 求取最小样本点数¶

😣❓什么情况下认为使用蒙特卡洛方法获得精确面积值 (误差<=0.05) 的样本点数为最小？

将样本点数设置为 1，开始遍历，每次加一。每一个样本点数都进行一定数量的测试，如果在这些测试中出现了误差大于 0.05 的情况，就说明此时不是最小样本点，于是样本点数加一进行下一轮测试，直到某一样本点数经过所有测试次数都满足误差小于等于 0.05 为止。

步骤如下：

传入测试次数 TEST_NUMBER，设置初始样本点数为 1
用 while 循环的方式来获取最小样本点数，并在循环内设置跳出条件
1. 循环内首先设置一个标记变量，标记此时是否跳出，初始值为 True
2. 进行 TEST_NUMBER 次的循环，在循环中检验是否出现了误差大于 0.05 的情况，若出现则标记变量的值设为 False
3. 在循环后设置条件判断是否跳出，若是则返回此时样本点数
4. 样本点数加一，进行下次循环

def func_min_sample_number(TEST_NUMBER=1000):  # 传入测试次数
    sample_number = 1
    while True:
        indicator = True  # 标记是否寻到最小样本点数
        for _ in range(TEST_NUMBER):
            data = func_mengtekaluo_area_value(sample_number)
            error = data[1]
            if error > 0.05:  # 如果在TEST_NUMBER次测试中出现了误差大于0.05的情况
                indicator = False  # 标记该样本点数不是最小样本点数
                break  # 结束循环
        if indicator:  # 已寻找到最小样本点，将其作为函数返回值返回
            return sample_number
        sample_number += 1  # 未寻找到最小样本点，将样本点数加一进行下一次循环测试

4.3. 展示蒙特卡洛方法获取的面积值随随机样本点变化的趋势图¶

def func_show_sample():
    """展示蒙特卡洛方法获取的面积值随随机样本点变化的趋势图"""
    # 计算误差数据
    areas = []
    MAX = 2000
    for NUMBER in range(1, MAX + 1):
        area = func_mengtekaluo_area_value(NUMBER)[0]
        areas.append(area)
    # 构建数组x,y
    x = np.arange(1, MAX + 1)
    y = np.array(areas)
    # 绘制图表
    plt.figure(figsize=(6, 3))
    plt.title("蒙特卡洛方法获取的面积值随随机样本点变化的趋势图")
    plt.ylim(0, 1)
    plt.plot([1, MAX], [precise_value, precise_value], color="r", linewidth=1)
    plt.scatter(x, y, s=0.5)
    plt.xlabel("样本点数")
    plt.ylabel("面积值")
    plt.show()

5. 实验结果¶

5.1. 所围区域¶

图5.1.5-1

5.2. 最小随机样本点数¶

在传入测试次数 TEST_NUMBER 为 1000 次的情况下，给出 10 次输出结果：

674, 709, 739, 773, 684, 706, 785, 742, 707, 781

5.3. 面积值随机样本点变化的趋势图¶

4-1

6. 问题讨论¶

如何在绘图时填充 \(y=x^2\) 和 \(x\in[0,1]\)间的区域？
- 经过翻看以往的 PPT，在概率论的计算实现PPT中似然概率示例代码中寻找到了解决方案。
- 如何让图表正常显示中文？
- 经过翻看，找到之前课上老师有讲过的实现方法。
- 😣❓什么情况下认为使用蒙特卡洛方法获得精确面积值 (误差<=0.05) 的样本点数为最小？
- 将样本点数设置为 1，开始遍历，每次加一。每一个样本点数都进行一定数量的测试，如果在这些测试中出现了误差大于 0.05 的情况，就说明此时不是最小样本点，于是样本点数加一进行下一轮测试，直到某一样本点数经过所有测试次数都满足误差小于等于 0.05 为止。

7. 实验心得¶

对 matplotlib.pyplot sympy numpy 模块的使用更加熟悉
熟悉了绘图操作，能熟练绘制散点图、函数图并对图表进行标注
熟悉了 numpy 中的数组 array 类型的操作
对蒙特卡洛方法的认识更加深刻，能将问题用蒙特卡洛方法求解

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题目2

1. 实验名称¶

2. 实验目的¶

3. 实验环境¶

4. 实验步骤及源代码¶

4.1. 编程画图展示所围区域¶

4.1.1. 设置正常显示中文¶

4.1.2. 构建函数 \(y=x^2\).¶

4.1.3. 设置图画参数¶

4.1.4. 绘制图像、标注区域并显示图表¶

该部分完整代码¶

4.2. 求取蒙特卡洛方法计算精确面积值所需最小随机样本点数¶

4.2.1. 使用 sympy​ 库计算精确面积值¶

4.2.2. 蒙特卡洛方法估计面积值¶

4.2.3. 求取最小样本点数¶

4.3. 展示蒙特卡洛方法获取的面积值随随机样本点变化的趋势图¶

5. 实验结果¶

5.1. 所围区域¶

5.2. 最小随机样本点数¶

5.3. 面积值随机样本点变化的趋势图¶

6. 问题讨论¶

7. 实验心得¶

4.2.1. 使用 `sympy` 库计算精确面积值¶