2 电阻电路的等效变换

电路的等效变换

部分电路可以用一个伏安特性相同的元件来代替。该元件只能用来研究等效电路之外的部分，内部被代替的电路无法再进行分析。

电阻的串并联

串联

\[ R_{eq} = \sum R_i \]

并联

\[ \begin{align*} {R_{eq}} &= \frac{1}{\sum \dfrac{1}{R_i}} \\ G_{eq} &= \sum G_i \end{align*} \]

除了串联和并联外，还有一种连接方式是桥形连接。

电桥平衡时，\(R_5\) 相当于开路，可以用串并联变换；电桥不平衡时，就无法运用串并联变换了，需要用下一节的电阻的 \(\mathrm{Y}-\Delta\) 等效变换。

电阻的 \(\mathrm{Y}\) 形联结和 \(\Delta\) 联结的等效变换

将 \(\mathrm{Y}\) 形电路的三个电阻分别用 \(\Delta\) 形电路的三个电阻代替：

\[ \begin{aligned} R_i &= \frac{\Delta 形i结点相邻两电阻乘积}{\Delta形三个电阻之和} \\\\ R_1 &= \frac{R_{13} R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{13}} \\ R_2 &= \frac{R_{12} R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{13}} \\ R_3 &= \frac{R_{23} R_{13}}{R_{12} + R_{23} + R_{13}} \end{aligned} \]

将 \(\Delta\) 形电路的三个电阻用 \(\mathrm{Y}\) 形电路的三个电阻代替：

\[ \begin{aligned} R_{ij} &= \frac{\mathrm{Y}形三电阻两两乘积之和}{\mathrm{Y}形中非i,j结点连接的电阻} \\\\ R_{12} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3} \\ R_{23} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} \\ R_{13} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \end{aligned} \]

若 \(R_1=R_2=R_3\)，则有 \(R_{12}=R_{23}=R_{13}\)，且 \(\boxed{R_\Delta = 3 R_\mathrm{Y}}\)