1 电路模型和电路定律

电路和电路模型

电路定义与名词解释

电路是由电路部件（例如电阻器、蓄电池等）和电路器件（例如晶体管、集成电路等）相互连接而成的电流通路装置。

实际电路中常借助电压、电流来传输电能或信号、处理信号、测量、控制、计算等功能。

• 电源：电能或电信号的发生器。
• 负载：用电设备。
• 激励源/激励：电源的别称，因为电源的作用下产生电压、电流。
• 响应：由激励在电路中产生的电压、电流。

有时会将激励称为输入，响应称为输出。

电路理论主要物理量

• 电流 \(I\)，单位 \(\text{A}\) 安培
• 电压 \(U\)，单位 \(\text{V}\) 伏特
• 电荷 \(Q\)，单位 \(\text{C}\) 库仑
• 磁通 \(\varPhi\)，单位 \(\text{Wb}\) 韦伯
• 电功率 \(P\)，单位 \(\text{W}\) 瓦特
• 电能 \(W\)，单位 \(\text{J}\) 焦耳

电流和电压的参考方向

参考方向

在研究某个元件或部分电路的电流或电压时有必要指定参考方向，因为电流和电压的实际方向可能未知（类比工程力学受力分析，负值代表方向与指定方向相反），也可能随时间变动。

电流的参考方向可以任意指定，一般用箭头表示或者双下标表示，如 \(i_{AB}\) 代表参考方向是从 A 到 B。

电压可以指定参考方向或参考极性。表示两点间电压的时候，用正极性（+）表示高电位，负极性（-）表示低电位，正极指向负极的方向就是电压的参考方向。也可以用箭头或双下标表示，如 \(u_{AB}\) 表示参考方向由 A 到 B。

• 关联参考方向：当电流和电压的参考方向相同时，称为关联参考方向。
• 非关联参考方向：当电流和电压的参考方向不同时，称为非关联参考方向。

国际单位制 SI 的倍数与分数词头

倍率	词头名称（中文）	词头名称（英文）	词头符号	倍率	词头名称（中文）	词头名称（英文）	词头符号
\(10^{24}\)	尧[它]	yotta	Y	\(10^{-1}\)	分	deci	d
\(10^{21}\)	泽[它]	zetta	Z	\(10^{-2}\)	厘	centi	c
\(10^{18}\)	艾[可萨]	exa	E	\(10^{-3}\)	毫	milli	m
\(10^{15}\)	拍[它]	peta	P	\(10^{-6}\)	微	micro	\(\mu\)
\(10^{12}\)	太[拉]	tera	T	\(10^{-9}\)	纳[诺]	nano	n
\(10^9\)	吉[咖]	giga	G	\(10^{-12}\)	皮[可]	pico	p
\(10^6\)	兆	mega	M	\(10^{-15}\)	飞[母托]	femto	f
\(10^3\)	千	kilo	k	\(10^{-18}\)	阿[托]	atto	a
\(10^2\)	百	hecto	h	\(10^{-21}\)	仄[普托]	zepto	z
\(10^1\)	十	deca	da	\(10^{-24}\)	幺[科托]	yocto	y

电功率与能量

正电荷从高电位流向低电位的时候，电压的电场力对电荷做功，元件吸收电能；正电荷从低电位流向高电位的时候，电压的磁场力对电荷做功，元件释放电能。

在 \(\mathrm{d}t\) 时间内，有 \(\mathrm{d}q\) 的电荷经历电压 \(u\) 从高电位到低电位，则电场力所做功也即元件吸收的能量为

\[ \mathrm{d}W=u\mathrm{d}q \]

取关联参考方向

假设 \(i\) 与 \(u\) 成关联参考方向，由 \(i=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\)，有

\[ \mathrm{d}W=ui\mathrm{d}t \]

元件吸收的电功率是吸收的电功对时间的导数，则

\[ p=\dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\dfrac{ui\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}=ui \]

\(t_0\) 到 \(t\) 时间内，元件吸收的的能量为

\[ W(t)=\int \mathrm{d}W=\int_{q(t_0)}^{q(t)}u\mathrm{d}q=\int_{t_0}^{t}u(\xi)i(\xi)\mathrm{d}\xi \]

当 \(p>0\) 时，\(W>0\)，元件吸收功率与能量；当 \(p<0\) 以及 \(W<0\) 时，元件释放功率与能量。

取非关联参考方向

当 \(i\) 与 \(u\) 成非关联参考方向，则 \(i=-\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\)，\(\mathrm{d}W=-ui\mathrm{d}t\)

\[ p=\dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{ui\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}=-ui \]

当 \(p>0\) 时，\(W>0\) ，元件吸收功率与能量；当 \(p<0\) 时，\(W<0\) ，元件释放功率与能量。

但是有时取非关联参考方向时的电功率为 \(\boxed{p=ui}\)，此时当 \(p>0\) 时，\(W<0\) ，元件释放功率与能量；当 \(p<0\) 时，\(W>0\) ，元件吸收功率与能量。

电路元件

电路元件相关

电路元件是电路中最基本的组成单元。

元件的特性通过与端子有关的电路物理量来描述。

元件两个端子的电路物理量之间的代数函数关系称为元件的端子特性（又称元件特性）。

集总参数(Lumped Parameter)元件：有关电、磁场的物理现象都由元件来“集总”表征，在元件外部不存在任何电场与磁场。因为如果元件外部有电场，则进出端子的电流可能不同；如果元件外部有磁场，两个端子之间的电压就可能不是单值的。因此集总参数元件假定，任何时刻，流入二端元件的一个端子的电流一定等于从另一端子留出的电流，且两个端子间电压为单值量。

电路物理量

• 电压 \(u\)
• 电流 \(i\)
• 电荷 \(q\)
• 磁通 \(\varPhi\)：穿过单位面积的磁通量。
• 磁通链 \(\varPsi\)；穿过多匝线圈的总磁通量。

其中 \(\varPsi=\sum \varPhi_i\)。

元件特性

• 电阻元件：电压与电流的代数关系 \(u=f(i)\)
• 电容元件：电荷与电压的代数关系 \(q=h(u)\)
• 电感元件：磁通链与电流的代数关系 \(\varPsi=g(i)\)

当代数关系为线性时，元件称为线性元件；

当代数关系为非线性时，元件称为非线性元件。

电路元件还可以分为时不变元件和时变元件，无源元件和有源元件等。

电阻元件

定义：一个二端元件，在任意时刻，其上的电压和电流之间的关系（Voltage Current Relation, VCR）能用 \(u - i\) 平面上过原点的曲线表示，即有代数关系

\[ f(u,\,i)=0 \]

称此二端元件为电阻元件。

元件上的电压电流关系 VCR 也常称为伏安特性（VAR）。

线性电阻元件

元件特性（伏安特性）

\[ u=Ri \]

令 \(G=\dfrac{1}{R}\)，变成

\[ i=Gu \]

\(G\) 被称为电阻元件的电导，单位是 \(\text{S}\) 西门子（简称西）。

• 短路：流过一个线性元件的电流无论何值，端电压恒为零。
• 开路：一个线性元件的端电压无论何值，流过它的电流恒为零。

\(u\) 和 \(i\) 取关联参考方向时，电功率

\[ \begin{align*} p &= ui = Ri^2 = \frac{u^2}{R} \\ &= Gu^2 = \frac{i^2}{G} \\ \end{align*} \]

\(R\) 和 \(G\) 是正实常数，因此 \(p\geqslant 0\)，线性电阻元件是一种无源元件。

电阻元件从 \(t_0\) 到 \(t\) 的时间内吸收的电能为

\[ W = \int_{t_0}^{t} Ri^2(\xi)\mathrm{d}\xi \]

制作材料的电阻率与温度有关，因此严格来讲电阻器带有非线性因素，但在工作条件下温度变化有限，因此可以用线性电阻元件作为理想模型。

线性电阻元件的伏安特性曲线在一三象限。如果一个电阻元件的伏安特性曲线在二四象限，则此元件电阻为负值，是发出电能的元件，一般需要专门设计。

非线性电阻元件

伏安特性

\[ \begin{array}{l} u=f(i) \\ i=h(u) \end{array} \]

时变电阻元件

伏安特性

\[ \begin{array}{l} u(t) = R(t) i(t) \\ i(t) = G(t) u(t) \end{array} \]

时变电阻元件的电压与电流也满足比例关系，但是电阻是时间 \(t\) 的函数，即 \(R(t)\) 和 \(G(t)\) 随时间变化。

电压源和电流源

实际电源有电池、发电机、信号源等。电压源与电流源从实际电源抽象出来得到电路模型，是二端有源元件。

电压源

是一个理想电路元件，其端电压 \(u(t)\) 为

\[ u(t) = u_S(t) \]

电压源电压 \(u(t)\) 与通过元件的电流无关，始终保持为给定的时间函数 \(u_S(t)\)，称为电压源的激励电压。电流的大小由外电路决定。

当 \(u_S(t)\) 为常数时，电压源称为恒定电压源或直流电压源，用 \(U_S\) 表示。

电压源的电压与电流的参考方向取为非关联参考方向，此时得到电压源发出的功率为

\[ p(t) = u_S(t) i(t) \]

这也是外电路吸收的功率。

电流源

是一个理想电路元件，其端电流 \(i(t)\) 为

\[ i(t) = i_S(t) \]

电流源电流 \(i(t)\) 与通过元件的电压无关，始终保持为给定的时间函数 \(i_S(t)\)，称为电流源的激励电流。端电压由外电路决定。

当 \(i_S(t)\) 为常数时，电流源称为恒定电流源或直流电流源，用 \(I_S\) 表示。

电流源的电压与电流的参考方向取为非关联参考方向，此时得到电流源发出的功率为

\[ p(t) = u(t) i_S(t) \]

这也是外电路吸收的功率。

电流源两端短路时，其端电压 \(u=0\)，\(i=i_S\)，短路电流就是激励电流。

正弦电压源与正弦电流源

电压源的 \(u_S(t)\) 或电流源的 \(i_S(t)\) 随时间作正弦变化，称为正弦电压源或正弦电流源。

以正弦电压源为例

\[ \begin{align*} u_S(t) &= U_m \sin(\frac{2\pi}{T}t + \phi) \\ &= U_m \sin(2\pi f t + \phi) \\ &= U_m \sin(\omega t + \phi) \end{align*} \]

• \(U_m\) 是正弦电压源的最大电压。
• \(T\) 是正弦电压源的周期。
• \(f=\dfrac{1}{T}\) 是正弦电压源的频率，单位是赫兹（\(\text{Hz}\)）。
• \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\) 是正弦电压源的角频率，单位是弧度每秒。
• \(\phi\) 是正弦电压源的初相角。

正弦电压也可以用 sine 函数表示。

常见实际电源

常见的如发电机、蓄电池等工作原理接近电压源，其电路模型是电压源与电阻的串联组合。

光电池等一类器件，工作时的特性接近电流源，其电路模型是电流源与电阻的并联组合。

上述都为独立电源，与下文受控电源相对。

受控电源

分类

受控电源共有四种:

• 电压控制电压源（Voltage Controlled Voltage Source, VCVS）：
• 电压控制电流源（Voltage Controlled Current Source, VCCS）：\(i=gu_1\)
• 电流控制电压源（Current Controlled Voltage Source, CCVS）：\(u=ri_1\)
• 电流控制电流源（Current Controlled Current Source, CCCS）：\(i=\beta i_1\)

对应的有四种线性时不变受控源电路模型，左边是控制端口，右边是电源端口：

• VCVS：\(u=\mu u_1\)
• VCCS：\(i=gu_1\)
• CCVS：\(u=ri_1\)
• CCCS：\(i=\beta i_1\)

其中 \(\mu\) 和 \(\beta\) 无量纲，\(g\) 为电导常数，\(r\) 为电阻常数。

与独立源进行比较

1. 独立源与受控源本质不同。独立源在电路中起着“激励”的作用，而受控源不是激励源。
2. 对包含受控源的电路进行分析时，先将其看作独立源。
3. 受控源和独立源都属于有源器件，它们都能向外提供功率。

电路的数值极性表示法

参考点

即零电位点。

• 在电力系统中，常选大地为参考点。
• 在电子线路中，常规定一条公共导线为参考点，这条公共导线常是众多元件的汇集点。
• 在电路分析中，常常指定电路中的某结点为参考点。

参考点用 \(\perp\) 表示。

结点电位

选择点 d 为参考点，则比如 b 结点的电位，为 b 点至 d 点的电压降 \(u_{bd}\)，可记为 \(u_b\)。

这种方式即为数值极性表示法，能够简化有一端接地的电压源。

基尔霍夫定律

集总电路由集总元件相互连接而成。基尔霍夫定律是集总电路的基本定律。

将电路中各个支路的支路电流与支路电压作为变量来看，这些变量受到两类约束：

1. 组成特性/电压电流关系（Voltage Current Relation, VCR）：如线性电阻元件电压与电流满足 \(u=Ri\)。
2. 几何约束/拓扑约束：元件的相互连接给支路电流之间或支路电压之间带来的约束关系，由基尔霍夫定律体现。

基尔霍夫电流定律 KCL(Kirchhoff's Current Law)

在集总电路中，任何时刻，对任一结点，所有流出节点的支路电流的代数和恒为零，其中规定流出结点的电流取正，流入结点的电流取负。即对于任一节点有

\[ \sum i=0 \]

换一种说法，即流出闭合面的电流等于流入同一闭合面的电流。即为电流的连续性。KCL 是电荷守恒的体现。

基尔霍夫电压定律 KVL(Kirchhoff's Voltage Law)

在集总电路中，任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒为零，其中需要指定绕行方向，与方向一致者取正，与方向相反者取负。即沿任一回路，有

\[ \sum u=0 \]

KVL 是电压与路径无关这一性质的反映，实际上也是能量守恒和转换定律的反映。

总结

KCL 在支路电流之间施加线性的约束关系；KVL 在支路电压之间施加线性的约束关系。这两个定律仅与元件的相互连接有关，与元件的性质无关。不论元件是线性元件还是非线性元件，时变元件还是时不变元件，基尔霍夫定律都适用。KCL 和 KVL 是集总电路的两个公设。

在使用时，一般指定支路电流与支路电压取关联参考方向。